GEOMETRÍA

geometría

1.1.El triángulo

   1.1 Propiedades y tipos de triángulos

         1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

         2. Todo triangulo equilátero es equiángulo, es decir las medidas de sus ángulos internos son                    iguales, en este caso cada ángulo mide 60°
        3. Si dos lados de un triangulo tienen igual medida, entonces los ángulos opuestos también son               de igual medida
       4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
       5. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no                      adyacentes.

SEGÚN SUS LADOS;

       isósceles: dos ángulos y dos lados iguales

       equilátero: todos sus ángulos y lados son iguales

       escaleno: ningún ladp y ángulo igual

SEGÚN SUS ÁNGULOS;

      rectángulo: uno de sus ángulos de 90º, es decir, recto.

     obtusángulo: uno de sus ángulos mide más de 180º, es decir obtuso.

     acuntángulo: uno de sus ángulos mide menos de 90º, es decir agudo.

1.2 Rectas y puntos nobles de un triángulo

•  INCENTRO: 

            Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.

• BARICENTRO:

            Es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.

• CIRCUNCENTRO:

              Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.

• ORTOCENTRO:

            Es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecante

1.3 Teorema de Pitágoras:

•   1.3.1 El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa , es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

             Un ejemplo gráfico puede ser el siguiente:

 

  1.3.2 Este sería el Teorema de Pitágoras representado en 3D:

1.4 Cómo calcula la altura del árbol a partir de la sombra

    Para poder explicar como usar el Teorema de Tales para calcular la sombra, vamos a utilizar un ejemplo con el siguiente dibujo:

 Vamos a utilizar la altura de una persona y su sombra para calcular la altura del árbol.

Para poder realizarlo necesitamos conocer la altura de la persona, la longitud de su sombra y la longitud de la sombra del árbol.

Teniendo estos datos, y dibujando las líneas transversales que nos comentan Luthiers en el vídeo, obtenemos la siguiente imagen:

2.  Lugares geométricos
    2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?

•  Es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas

•  Algunos de los ejemplos que podemos encontrar en planos, son las BISECTRICES

2.2 La mediatriz y la bisectriz

• MEDIATRZ: la mediatriz de un segmento es la línea perpendicular a dicho segmento trazado por su punto medio.

            Un ejemplo gráfico de éstas pueden see

 

• BISECTRIZ:  Semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales.

           Otro ejemplo gráfico de éstas puede ser:

 

2.3 Las cónicas.

• 2.3.1 Se nombran cónicas a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.

              Hay diferentes tipos de cónicas: 

1.  Elipse
2.  Paräbola
3. Hipërbola
4. Circunferencia

• 2.3.2 La circunferencia:

  - Es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.
   - Hay varias partes en una circunferencia

1.     Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia
2.     Radio: el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
3.     Diámetro:El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia que pasa por el centro de esta. El diámetro mide el doble del radio.
4.    Cuerda:  es un segmento que une dos puntos de la circunferencia   

• 2.3.3 La elipse:

        - Es una curva plana, simple y cerrada
              Obtención de un cono:
       

• 2.3.4 La hipérbola:

        - Es una sección cónica, abierta de dos ramas obtenida cortando un conorecto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

         Obtención de un cono:

 

• 2.3.5 La parábola:

       - Es una curva cónica que suele trazarse en fénomenos comunes, como por ejemplo la caída del auga en una fuente o un balón que es lanzado por uj jugador de basquetbol.

         Obtención en un cono:

3. Movimientos en el plano

  3.1 ¿Qué es un vector?

      Segmento de recta, contado a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.

  

  3.2.1. Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar: 

a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas 

Vector u > representado con el color naranja

Vector v > representado con el color verde

b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo 

El resultado de la suma está representado en rosa > (3,-1)

c) las componentes de los vectores anteriores 

Vector u > componente x: 4; componente y: 3

Vector v > componente x: -1; componente y: 4

Suma de los vectores > componente x: 3; componente y: -1

d) el módulo de cada uno de los vectores

|Vector u| =  5

|Vector v| = √17

|Vector u+v| =√10

3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):

3.3.1 Ejercicio: Escribe la inicial de tu nombre y haz varios giros con ella.

3.4 Simetría. 

Ejercicios 3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide: 

a) dibujar el triángulo 

Dibujado en color rojo

b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0) 

Dibujado de color verde

c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX 

Dibujado en color azul

3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo. Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda MQ golpee a la bola B.

Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B.

 4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas

 

5.La esfera y el globo terräqueo

• 5.1 ESFERA:  esta formada por el conjunto de los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado cerca.

                - Elementos de la esfera:
 

       - Elementos de la esfera terrestr:

• 5.2 GLOBO TERRÁQUEO: es un modelo tridimensional representado sobre una esfera a escala de la Tierra o de otro cuerpo celeste como un planeta o la Luna.

•  5.3 HUSOS HORARIOS, HORA LOCAL Y SOLAR

           - Husos horarios: Franja de la tierra delimitada por dos meridianos separados por 15º de longitud con la misma hora.

           - Hora oficial: es la que los gobiernos e instituciones adoptan para su país correspondiente.

          - Hora solar:corresponde al Meridiano de Greenwich que se refiere al tiempo solar medio real que hay. 

• 5.4 EL MÉTODO DE ERASTÓTENES PARA CALCULAR EL DIÁMETRO TERRESTRE

 

           -Lo que se puede observar es como se miden diferentes lados para poder así calcular el diámetro terrestre total 

           - Para los mas curiosos podéis visitar este víde para más información:

         https://www.youtube.com/watch?v=4gpECWx8sns